В структурах данных set (в C++ std::set, в Java TreeSet), операции вставки, удаления и поиска выполняются за логарифмическое время (O(log n)), но это справедливо не для всех реализаций, а только для тех, которые базируются на самобалансирующихся бинарных деревьях поиска (например, красно-черных деревьях).

📌 Что такое set?

set — это коллекция уникальных элементов, которая автоматически упорядочивает их при вставке (если используется дерево) или хэширует (если это unordered_set или HashSet).

📘 Основная реализация: std::set в C++

В C++, std::set реализован как красно-черное дерево, которое является разновидностью самобалансирующегося бинарного дерева поиска. Благодаря этому достигается гарантированная временная сложность:

Почему O(log n)?

• При вставке, удалении или поиске элемент проходит путь от корня дерева до нужного узла.

• Самобалансировка обеспечивает высоту дерева ≈ log₂(n).

• Красно-черные деревья автоматически производят ротации и перекраски для удержания баланса.

📙 Пример: вставка

std::set<int> s;
s.insert(5); // логарифмическая вставка
s.insert(2);
s.insert(8);

• После каждой вставки структура проверяет баланс.

• Гарантируется, что глубина дерева остаётся логарифмической.

• Дубликаты автоматически игнорируются.

📘 В Java: TreeSet

TreeSet в Java реализован на красно-черном дереве, как и std::set в C++. Поэтому:

Пример:

TreeSet&lt;Integer&gt; set = new TreeSet<>();
set.add(10);
set.add(5);
set.add(20);

❗ Важное отличие: unordered_set и HashSet

Если использовать unordered_set в C++ или HashSet в Java:

• Эти структуры используют хэш-таблицу.

• Операции вставки, удаления, поиска имеют среднюю сложность O(1), но худшую — O(n).

• Элементы не отсортированы.

• При плохой хэш-функции возможны коллизии и снижение производительности.

📚 Примеры сравнения

C++:

std::set<int> s; // O(log n)
std::unordered_set<int> us; // O(1) в среднем

Java:

Set&lt;String&gt; treeSet = new TreeSet<>(); // логарифмическая сложность
Set&lt;String&gt; hashSet = new HashSet<>(); // константная в среднем

🛠 Механизм вставки и поиска

Вставка:

1. Сравнение вставляемого элемента с корнем.

2. Рекурсивный спуск влево или вправо.

3. При достижении nullptr — добавление нового узла.

4. Выполнение балансирующих операций (ротации и перекраски).

Поиск:

1. Начало с корня.

2. Сравнение с текущим значением:

   • Меньше → идти влево.

   • Больше → идти вправо.

   • Равно → найден.

Каждый шаг отсекает половину дерева — O(log n).

🧠 Балансировка в красно-черном дереве

Красно-черное дерево поддерживает следующие инварианты:

• Каждый узел — красный или черный.

• Корень всегда черный.

• Красный узел не может иметь красного потомка.

• В любом поддереве одинаковое число черных узлов от корня до листа.

Благодаря этим правилам гарантируется, что высота дерева ≤ 2·log₂(n).

🔍 Использование set в алгоритмах

set часто используется:

• Для поддержания множества уникальных значений.

• Быстрого доступа к минимуму/максимуму.

• Поиска ближайших значений (lower_bound, upper_bound).

• Хранения отсортированных данных без дубликатов.

🧾 Реализация lower_bound / upper_bound

set.lower_bound(x) — найти \*\*первый элемент ≥ x\`.

• В C++: auto it = s.lower_bound(x);

• В Java: set.ceiling(x);

Реализуется бинарным поиском в дереве → O(log n)

📈 Итоги сложности в set

Если используется set, базирующийся на сбалансированном дереве (красно-черном, AVL и т.д.), логарифмическая сложность гарантируется во всех случаях, в отличие от обычного бинарного дерева поиска или unordered_set.