Среднее значение (или арифметическое среднее) и медиана — это два различных типа статистических мер центральной тенденции, которые используются для описания «типичного» значения в наборе данных. Несмотря на то что обе характеристики отражают центр распределения данных, они делают это по-разному и применяются в разных контекстах в зависимости от распределения и наличия выбросов.

Среднее значение

Определение:

Арифметическое среднее — это сумма всех значений, делённая на их количество.

Формула:

Для набора из n значений x1,x2,...,xnx_1, x_2, ..., x_n:

xˉ=x1+x2+…+xnn\\bar{x} = \\frac{x_1 + x_2 + \\ldots + x_n}{n}  

Пример:

Набор чисел: 2, 4, 6, 8, 10
Среднее = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 30 / 5 = 6

Характеристики:

• Чувствительно к выбросам (очень большим или маленьким значениям).

• Используется, когда данные симметрично распределены.

• Подходит для интервальных и количественных данных.

• Часто используется в финансовых расчётах, оценках, физике, экономике.

Медиана

Определение:

Медиана — это значение, которое находится посередине упорядоченного набора данных. Половина значений меньше медианы, половина — больше.

• Если количество значений нечётное — медиана это средний элемент.

• Если количество значений чётное — медиана это среднее двух центральных значений.

Пример 1 (нечётное количество):

Набор: 1, 3, 5, 7, 100
Медиана = 5

Пример 2 (чётное количество):

Набор: 1, 3, 5, 7
Медиана = (3 + 5)/2 = 4

Характеристики:

• Устойчива к выбросам.

• Лучше отражает центральную тенденцию при скошенных (несимметричных) распределениях.

• Часто используется в социальных науках, экономике, здравоохранении, когда встречаются экстремальные значения.

Сравнение на примерах

Пример 1: Выброс

Набор: 10, 20, 30, 40, 1000

• Среднее: (10 + 20 + 30 + 40 + 1000) / 5 = 220

• Медиана: 30
  → Среднее значительно искажено выбросом 1000, в то время как медиана устойчиво показывает «типичное» значение.

Пример 2: Равномерное распределение

Набор: 5, 6, 7, 8, 9

• Среднее: 7

• Медиана: 7
  → Значения совпадают, так как распределение симметричное и без выбросов.

Когда использовать что

Поведение при аномалиях

Допустим, у нас есть набор доходов:
20 000, 22 000, 23 000, 24 000, 10 000 000

• Среднее: (20 000 + 22 000 + 23 000 + 24 000 + 10 000 000) / 5 = ~2 021 800

• Медиана: 23 000

→ Среднее говорит, что «типичный доход» — миллионы, что не соответствует действительности. Медиана даёт более реалистичную оценку.

Распределения и чувствительность

1. Нормальное распределение (симметричное):

• Среднее ≈ Медиана ≈ Мода

2. Правостороннее (положительно скошенное) распределение:

• Выбросы тянут среднее вправо

• Среднее > Медиана

3. Левостороннее (отрицательно скошенное) распределение:

• Среднее < Медиана

Визуализация

Для визуального анализа используют гистограммы или boxplot (ящик с усами), на которых можно увидеть:

• Медиану (центральная линия в коробке),

• Среднее (часто отображается отдельной точкой или линией),

• Выбросы.

В системах анализа данных и BI-инструментах

• Excel / Google Sheets:

  • Среднее: =AVERAGE(A1:A10)

  • Медиана: =MEDIAN(A1:A10)

Python (pandas):

python import pandas as pd df = pd.read_csv("data.csv") df\['column'\].mean() # Среднее df\['column'\].median() # Медиана

SQL (в PostgreSQL и других):

python SELECT AVG(column), PERCENTILE_CONT(0.5) WITHIN GROUP (ORDER BY column) AS median FROM table;python

Влияние на принятие решений

• В бизнес-отчётах среднее может ввести в заблуждение, если не указана медиана или распределение.

• В образовании оценка среднего балла по классу может искажаться отличниками и отстающими.

• В здравоохранении медиана продолжительности жизни даёт более надёжную картину, чем средняя.

Связанные метрики

• Мода — самое частое значение в наборе данных.

• Размах — разница между максимумом и минимумом.

• Квартиль — значения, разделяющие данные на четыре равные части.

Использование среднего, медианы и моды в комплексе позволяет получить более полное представление о данных.