Фильтр Гаусса (Gaussian filter) — это метод пространственной фильтрации изображений, основанный на гауссовом распределении. Он используется для сглаживания (размытия) изображений, подавления шума и подготовки данных к последующим этапам обработки, таким как выделение границ или сегментация. В отличие от простого среднего фильтра, гауссов фильтр придаёт больший вес центральным пикселям и меньший — более удалённым, благодаря чему результат выглядит более естественным.

Математическая основа

Фильтр использует двумерное гауссово распределение, описываемое формулой:

G(x, y) = (1 / (2πσ²)) * e^(-(x² + y²) / (2σ²))

где:

• x и y — координаты пикселя относительно центра ядра,

• σ (сигма) — стандартное отклонение распределения, определяющее степень размытия,

• π — число Пи,

• e — основание натурального логарифма.

Принцип работы

1. Создаётся ядро Гаусса (обычно размером 3×3, 5×5, 7×7 и т.д.), значения которого соответствуют гауссовому распределению.

2. Это ядро свёртывается с изображением — для каждого пикселя берётся его окрестность, умножается на ядро, и результат записывается в новый пиксель.

3. Таким образом, каждый пиксель становится усреднённым значением своих соседей, при этом ближайшие пиксели влияют на него больше, чем дальние.

Пример гауссова ядра 3×3 при σ=1

[ [1, 2, 1],

[2, 4, 2],

[1, 2, 1] ] * 1/16

Элементы суммируются к 16, чтобы сохранить яркость изображения. Центральный пиксель (вес 4) влияет сильнее.

Пример в OpenCV

import cv2
image = cv2.imread('image.jpg')
\# Применение гауссового фильтра с ядром 5×5 и σ, вычисляемым автоматически
blurred = cv2.GaussianBlur(image, (5, 5), 0)
cv2.imshow('Blurred', blurred)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

Параметры:

• (5, 5) — размер ядра,

• 0 — σ вычисляется автоматически на основе размера.

Зачем использовать фильтр Гаусса

1. **Подавление шума
   **

   • Убирает высокочастотные помехи (резкие одиночные пиксельные всплески).

   • Особенно полезен при предварительной обработке изображений с датчиков или при работе с видео.

2. **Подготовка к выделению границ
   **

   • Перед операцией, например, Собеля или Canny, изображение размазывается для уменьшения влияния шума.

   • Это предотвращает ложные срабатывания на незначительных изменениях яркости.

3. **Улучшение стабильности детекторов
   **

   • Фильтрация помогает сохранить только устойчивые признаки (контуры, формы).

   • Важно при работе с видео и движением: позволяет отслеживать реальные границы объектов.

4. **Применение в пирамидных представлениях
   **

   • В построении гауссовых и лаплассовых пирамид используется последовательное размывание изображения.

5. **Сглаживание после масштабирования
   **

   • При увеличении или уменьшении изображения гауссов фильтр предотвращает ступенчатые артефакты (aliasing).

Свойства фильтра

• Линейный фильтр — результат зависит только от линейной комбинации значений пикселей.

• Симметричное ядро — равномерное воздействие по всем направлениям.

• Изотропность — одинаково воздействует на пиксели независимо от ориентации.

Отличие от других фильтров

Параметры, влияющие на поведение

1. **Размер ядра
   **

   • Чем больше ядро, тем более размытым получится изображение.

   • Обычно нечетное (3, 5, 7), чтобы иметь центральный пиксель.

2. **Стандартное отклонение σ
   **

   • Большое σ создаёт эффект сильного размытия.

   • Малое σ ограничивает сглаживание только ближайшими соседями.

3. **Границы изображения
   **

   • Обработка краевых пикселей требует особого внимания.

   • OpenCV и другие библиотеки используют отражение, дополнение или усечение.

Простая реализация вручную (NumPy)

import cv2
import numpy as np
from scipy.ndimage import convolve
\# Пример гауссова ядра 3×3
kernel = np.array(\[\[1, 2, 1\],
\[2, 4, 2\],
\[1, 2, 1\]\]) / 16.0
image = cv2.imread('image.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
blurred = convolve(image, kernel)

Гауссов фильтр в частотной области

Гауссов фильтр можно применить и в спектральной (частотной) области. В этом случае:

1. Изображение преобразуется в частотную область с помощью БПФ (FFT).

2. К нему применяется частотный гауссов фильтр.

3. Обратно преобразуется в пространственную область.

Это позволяет фильтровать изображения с гораздо большей производительностью при больших ядрах.

Связь с биологическим зрением

Гауссово размытие — приближённая модель того, как глаз фокусируется на объекте и игнорирует фон. Механизмы, подобные гауссовой фильтрации, предположительно участвуют в восприятии объектов с различной контрастностью.

Практическое применение

• Подавление шумов с камер и датчиков (например, с дронов).

• Препроцессинг в OCR (распознавание текста).

• Подготовка изображений для машинного обучения и свёрточных сетей.

• Использование в медиаплеерах и видеоредакторах для создания эффекта размытия.

Фильтр Гаусса остаётся одним из самых часто используемых и фундаментальных инструментов в цифровой обработке изображений и системах компьютерного зрения.